Archive for the ‘رياضيات’ Category

سؤال احتمالات

2009/08/12

قيل لك بأنه ستهبط من السماء أشياء تحترق فتضيء فوقفت في مكان مفتوح من الأعلى لتنظر، و بما أنك لا تستطيع أن تحيط بالسماء فإنك ستنظر بجهة معينة.
ما احتمال أن ترى ما لأجله تنظر؟

Advertisements

سؤال رياضيات

2009/06/05

قد يبدو السؤال بسيطاً و لكن لي فيه مآرب أخرى، أكون شاكراً لكن من (تـ)يبدي رأيها(ـه).

كيف نوجد الحلول الصحيحة الموجبة لمعادلة رياضية من الدرجة الأولى بعدد مجاهيل أكبر من 1؟ و من ثم كيف نوجد الحلول الصحيحة الموجبة لجملة من المعادلات الخطية بعدد مجاهيل أكبر من عدد المعادلات؟
تعديل: نسيت أن أقول الموجبة فقط، و تكفي حالة جميع الثوابت صحيحة و موجبة.

يعني لا ضرورة لشرح كثير، ما بدي عذّب أحد، لكن بالقدر الكافي للتوضيح و إن كان مختصر جدا.

أطيب التحيات.

فكر تعاودي

2008/12/22

غالبا ما يتم التنقل من موضوع لآخر عند وجود أشخاص يتحادثون(شخص واحد على الأقل) يحدث هذا التحول في موضوع الحديث بسبب ورود فكرة تحوي من الأهمية، في رأي أحد المتحادثين على الأقل، ما يفوق أهمية الموضوع الحالي فما إن ترد تلك الفكرة حتى ينتقل إليها، أحيانا يكون الموضوع الجديد محدودا فينتهي الحديث حوله خلال مدة قصيرة ثم يعود الموضوع السابق، و أحيانا يولّد هذا الموضوع بدوره موضوعا آخرا … و هذا ما يسبب في الأوقات القادمة قول أحدهم : وين كنّا ؟؟ متسائلا.
أما كيف تأتي هذه المواضيع رغم “عدم علاقتها” (كما يبدو) ،في بادئ الأمر، بالموضوع الحالي فسأتحدث عن فكرتين، أو بالأصح عن شخصين، الأول هو من قام بتغيير الموضوع و الثاني لاحظَ نقطة تغير الموضوع و يفضل أن يملك تفكيرا تعاوديا جيدا:
بالنسبة لمن قام بتغيير الموضوع فهو عرضت له كلمة أو عبارة أو ربما مشهد أو صوت أو رائحة أو … ضمن موضوعي هذا قد لا علاقة هناك للروائح أو المناظر باحتمال كبير، المهم أن شيئا ما حدث و قد ذكّره هذا الشيء بموضوع أو شخص أو لنقل شيئا آخر بعيدا كل البعد عن الموضوع من وجهة نظر شخص لا يعني له الموضوعان ما يعنياه بالنسبة لمن غيّر الموضوع، هنا أوقف هذا الشخص سير الحديث بالموضوع الحالي و انتقل للموضوع الجديد عندما أتيحت له الفرصة لهذا الفعل (بعض الناس يقطعون حديثك بشكل غبي و البعض ينتظرك لتنهي الحديث و هناك من يهمّ بمقاطعتك فيدرك أنه ارتكب حمقا فيتراجع و هنا تدرك بأن لا أهمية للاستمرار [طويلا] بالموضوع الحالي و أن من المستحسن ترك المجال لهذا المقاطع ليبدأ بموضوعه).
إذن، ما يهمنا حاليا هو أن شيئا ما استدعى شيئا آخر، الشيئان من النظر بشكل عام لا علاقة لهما، إلا أن هناك علاقة لولاها لما استدعى أحدهما الآخر، مما يقودنا إلى فكرة هامة ألا و هي أن هناك ترابط بين الأفكار في ذاكرتنا و أن لهذا الترابط كبير الأهمية لبقاء هذه الأفكار فالفكرة التي لا يبقى أفكار ترتبط بها تفنى أغلب الظن (كما أظن)، لاحظ أنه في لغات البرمجة، و لتكن لغة جافا، أننا غير مضطرين لتدمير الكائنات عندما ننتهي من استخدامها، هناك من يقوم بذلك ولا أريد أن أدخل بالتفاصيل فقط ما أريد أن أذكره هو أن في اللغة شيئا ما مهمته تدمير الكائنات عندما ننتهي من استخدامها، أما كيف يعرف بأننا انتهينا من استخدامها فهذا شبيه بالفكرة التي في ذاكرتنا و التي لم تعد أية فكرة أخرى ترتبط بها (هناك الكثير من الأحداث التي تتلاشى من ذاكرتنا لعدم ارتباطها بأحداث أخرى، مثلا عندما تشتري كيلو موز من دكان …).
هناك متانة في تلك الأفكار التي تحاكي في تحقيقها تصميم الإنسان أو بشكل أعم، ما خلقه الله.

أنتقل للشخص الآخر، ذلك الذي لاحظ أن الآخر غيّر مسار تفكيره بشكل مثير للدهشة! ، كأن تكون تتحدث مع زميل لك حول إحدى المواد في الجامعة و أنتما أمام مكتبة فيقول لك في منتصف حديثك بأن السرطان منتشر بشكل مخيف هذه الأيام ! (سأذكر هذا المثال بعد قليل).
هذا الشخص عندما لاحظ تبدل الحديث حاول أن يعرف ما الذي دعا الآخر ليغير حديثه، عمليا هو يحاول أن يجد ذلك الرابط بين الموضوعين، و هنا قد يفلح و قد لا يفلح و ذلك يعود لعدة عوامل منها أو أهمها هو وجود مواضيع في ذاكرة الآخر ،تشكل مرحلة من مراحل الارتباط بين الموضوعين، لا يعرفها و لم ينجح في تخمينها.
فكيف يحاول معرفة الارتباط ؟ مبدئيا يبحث عن شيء مرتبط بالموضوعين فإن وجد ذلك الشيء فهذا يدل على ارتباط مباشر بين الموضوعين أما إن لم يجده فيحاول (و دون أن يقصد ربما) أن يجد موضوعا ثالثا يربط الموضوعين بمعنى أن هناك ارتباط بين الموضوع الثالث و كل من الموضوعين الآخرين، علما أن لا علاقة لهما ببعضهما دونه، أيضا قد يفلح و … إلى أن يتعب أو يعرف و هذا حسب قوة دماغه.
العودية أو الاستدعاء الذاتي هو مفهوم رياضي يطبّق برمجيا يقول: إن بإمكان تابع أن يستدعي ذاته ضمن ذاته، مثلا لنأخذ مثالا بسيطا رياضيا قبل أن آخذ مثالا حياتيا:
قوة العدد x من الدرجة n تساوي قوة العدد x من الدرجة n-1 مضروبا بـ x، لاحظ بأن عبارة “قوة العدد” وردت في تعريف عبارة “قوة العدد”، و هكذا فإن :

xn = xn-1*x
xn-1 = xn-2*x
xn-2 = xn-3*x

أي

xn = ((((...xn-(n-1))*x)*x)*x)*...x

و هذا ما نعبر عنه بأسلوب آخر عن تعريف xn بقولنا هي x*x*x… عدد n من المرات.

مثال حياتي: كم سعر 5 كيلو من البطاطا ؟ هو سعر 4 كيلو + سعر 1 كيلو، طيب و ما سعر الـ 4 كيلو ؟ هو سعر 3 كيلو + سعر 1 كيلو ، و ما سعر الـ 3 كيلو ؟ هو سعر 2 كيلو + سعر كيلو، و ما سعر 2 كيلو ؟ هو سعر 1 كيلو + سعر 1 كيلو. بعد هذا لن نسأل كم سعر الكيلو إذ أن هناك قيمة أولى يتم التراجع عوديا عند الوصول إليها.
نقوم بتنفيذ الأسلوب التعادي دون أن نفكر بذلك، مثلا قد يحدث أنه كم عمر يوسف؟ فيجيب الآخر بأن يوسف أكبر من زينة بـ 3 سنوات، فيُسأل: كم عمر زينة ؟ 22 سنة فيستنتج السائل بأن يوسف عمره 25 سنة، و قد لا يرغب بمعرفة عمر يوسف بعد أن تصل سلسلة الارتباطات بين أعمار آخرين حدا مملاً.

إذن من يحاول أن يعرف ما الذي دعا مَن غَيّر الموضوع لتغييره حاول الربط بين عدة مواضيع متتالية كل موضوع مرتبط بالذي قبله و الذي بعده فقط.
في المثال السابق حول أنك تتحدث مع زميلك حول إحدى المواد في الجامعة فقال لك (بعد أن أنهيت فكرتك ) يا رجل صاير السرطان منتشر بشكل مخيف هالايام! تحاول من خلال عملية الربط بين الأفكار أن تجد شيئا يربطهما فتفشل، تبحث عن موضوع يرتبط بكل منهما فتفشل، لاحظ أن الحالة القصوى هي عند الوصول للسرطان و ههنا لا بد من البدء منها تراجعيا، فإذا كنت تعرف أن أحدا يعرفه الشخص الآخر مصابا بالسرطان يمكن البدء منه و ليكن على سبيل المثال ابن خال هذا الشخص، فتحاول أن تجد شيئا يربط بين ابن خال هذا الشخص و بين المادة التي كان الحديث حولها فلا تجد، تبحث عن شيء يربط بينها فربما تدرك بصعوبة أن خال هذا الشخص أو يشبه مدرس تلك المادة ، أي أنه عندما كنتما تتحادثان حول مادة جامعية تذكر هو مدرس المادة و عندما تذكره (أو ورد أمامه) تذكر خاله الذي يشبهه، و عندما تذكر خاله أحس بانزعاج عندما تذكر أن ابن خاله مصاب بالسرطان فما كان منه إلا أن عبّر عن خوفه من زيادة انتشار هذا المرض.

الموضوع بكليته هو رأيي أو لأقل هو ما أظنه أنه. الأفكار كثيرة… أكتفي هنا

الاختيار اللاحتمي

2008/09/14

هب أنك ذاهب لبيت لم تذهب إليه من قبل ، قيل لك هو في الطابق الرابع أو الخامس أو السادس في إحدى ثلاث أبنية ، فكيف ستعرف البيت؟
قد تكون الفكرة الأكثر بساطة هي أن تصعد إلى البناء الأول و تطرق باب البيت في الطابق الرابع ثم الخامس ثم السادس و إذا لم يكن البيت أيا منها ستنزل و تصعد في البناء الثاني و هكذا ستفعل مجددا حتى تصل إلى البيت الصحيح.
لا تبدو هنا مشاكل سوى التعب من جراء الصعود و النزول ، بغض النظر عن أنك ربما تخجل من طرق باب بيت لست تعلم من بداخله و ما قد تكون ردة فعله.
لنغير طريقة الطرح ، لنفرض أنك لا تبحث عن بيت و إنما عن محل تجاري يبيع أحذية و قيل لك عن أحد هذه المحال لديه أحذية ممتازة ، لن يكون هناك ما يدلّك على أن هذا المحل هو الصحيح ، ربما ستتنقل من محل لآخر و ستختار المحل الذي ستظن أنه هو الصحيح و قد تقع في الخطأ فالمظاهر غالبا ما تسبب مصدر غش.
لنتخيل الآن مؤسسة مياه تضخ مياه شرب لعشر قرى ، و قد وردهم أن إحدى هذه القرى تعاني من الجفاف الشديد و أتت أوامر من جهات عليا بضرورة ضخ المياه للقرية بالسرعة القصوى ، على فرض أنه لم يتم تحديد القرية و أن مؤسسة المياه لديها القدرة على ضخ المياه لقرية واحدة في وقت واحد ، فكيف سيفعل المشرفون على المؤسسة ؟
هناك عدة احتمالات ، منها أن يتم الضخ لكل قرية بدءا من الأولى و حتى الأخيرة و هنا تبرز مشكلة أنه ربما تكون القرية المطلوبة العاشرة أو التاسعة و سيتأخر وصول المياه إليها كثيرا ، حل آخر هو اختيار قرية عشوائية ثم الضخ إليها و بعد ذلك اختيار قرية أخرى و هكذا و هنا تبرز نفس المشكلة ، ربما أفضل حل هو أن تتوفر مضخات قادرة على دفع المياه لكل القرى في نفس الوقت .

تخيل أنه آلت بك الأحوال لتصل لمكان و جيوبك خاوية لا تحوي أكثر من 10 ليرات و هذا ما لا يكفيك للعودة للمنزل ، فتذكرت أن أحد أصدقاءك يقطن في مكان مجاور للمكان الذي أنت فيه إلا أنك لا تعلم اسم المنطقة تماما إنما تتذكر بعض معالم الطريق ، و لنفرض وجود سيارتين تعملان على نقل الركاب في هذه المنطقة و لست تعلم في أي منهما يجب أن تصعد فلست تعرف اسم المنطقة كما لا يعلم أحد من الناس اسم صديقك ، هذا عدا عن أنك لست تستطيع أن تطلب من أحد أن يعطيك ما يكفيك للعودة للمنزل لعفة في نفسك أو لعلمك بأن أحدا لن يفعل فوجوههم تعكس مدى (حقارتهم)!
ربما ستختار سيارة من السيارتين و تصعد بها و لكن في حال تبين لك بعد قليل أن معالم الطريق مختلفة ماذا ستفعل ؟ إنك مضطر لدفع الـ 10 ليرات كأجرة للسيارة و ستصل لمكان و لا تملك شيئا ! و ستقول يا ريتني طلعت بالسيارة التانية ، أليس الحل الأمثل هو أن تصعد بالسيارتين معا ؟

أستاذ رياضيات ، طلب من أحد الطلاب أن يكتب رقما بين الواحد و التسعة ثم يكتب بجانبه ضعفه إذا كان فرديا و ضعفه أو نصفه إذا كان زوجيا ثم يطبق نفس الآلية على العدد الجديد عددا محدودا من المرات ليكون العدد الناتج قابلا للقسمة على 3 ، هنا ربما يصل بعد تكرار العملية 5 مرات مثلا لعدد قابل للقسمة على 3 و ربما لن يفعل علما أنه سلك طريقا يعتقد أن صحيح !

طريق ، بيت ، تصعد ، تنزل ، تذكر ، طريق ، عودة ، بدء ، مكان، سيارة ، … لو أخذنا معنى آخر ؟؟ .

هل نستطيع أن نتحرك بشكل لا حتمي ؟ كحاسبة تورينغ ، أو كأوتومات لا حتمي ؟

أكبر من ذلك ، طرق الحياة المختلفة و التي قد يبدو الكثير منها صحيحا ، قد يؤدي الكثير منها إلى نتائج خاطئة فهل علينا أن نسير بكل الطرق في نفس الوقت و عندما نكتشف الطريق الصحيح نخرج من الطرق الأخرى ؟ ربما يبدو ذلك جيدا لكن هل نستطيع ؟ فمساحة العودة ممكنة أحيانا و أحيانا أخرى لا.

شخص يتسلق بناء بواسطة حبل و عندما يصل للطابق الذي يجب أن يعرفه بنفسه يجب أن يفتح النافذة و يدخل ، إن كان اختياره صحيحا يبقى في الداخل و إن لم يكن يخرج من النافذة و يتابع الصعود للأعلى ، لكن تخيل أن أحدهم أشعل الحبل ؟ حيث لن يكون بإمكان العودة في حال الاختيار الخاطئ لمتابعة البحث فالحبل قد سبقه.

؟! بق

عابرون … و شويّة رياضيات

2008/07/03

مختلفون أولئك العابرون الذين يتواجدون في مراحل حياتنا ، بعضهم يترك ذكرى جميلة و البعض ذكرى سيئة ، بعضهم لا يترك شيئا …
ربما لا يجب أن نتمنى لو طال عبور أحدهم أو قصر ، هكذا هي الحال ، الفترة جزء من ذلك التأثير.

يقول علم الرياضيات أن المستقيمات المتوازية لا تتقاطع (هكذا تعرّف) ، فما الذي يحدث إذاً ؟ لماذا كل هذه التقاطعات ؟ يقول البعض أن ذلك غير صحيح ، تتلاقى المستقيمات المتوازية في اللانهاية.

المستقيم القاطع لأحد متوازيين قاطعٌ للآخر ( من مسلّمات اقليدس ) ، أعد تعريف التقاطع و التوازي ، ربما تكون نظرية أولئك الذين يقولون بتقاطع اللانهاية صحيحة ، قد يُقطع أحد متوازيين ولا يقطع الآخر الآن ، لكن ربما يقطعه في اللانهاية ، أو ربما يكون هو نفسه من قطع الأول الذي اعتقد أنه يوازيه !

جداء الصفر في أي عدد يساوي الصفر. إنّه يلغيه ، أو أن أي عدد هو لا شيء مقابل الصفر ! ، هل استطاع أحد أن يقوم بذلك؟

من أعمّ؟ الدائرة أم المستقيم ؟ يقال : المستقيم دائرة (نصف) قطرها يذهب إلى اللانهاية ، هل حدد أحد مركزها ؟ تعال نحاول أن نعكس الأمر ؟ الدائرة هي مستقيم تلاقت نهايته ببدايته بانحناء منتظم ! سأصيغها بأسلوب آخر، “الدائرة مستقيم انتهى !”.

يقال : جميع نقاط الدائرة تبعد نفس البعد عن نقطة في داخلها هي المركز. ما الذي يحدث إذا ضربنا هذا البعد بـ صفر ؟

هل حاولت النظر من الأعلى لهذه المفاهيم ؟ أو نظرت في مرايا متقابلة متوازية و أنت تقف بينها ؟ جرّب أن تصل إلى مكان ما.

البرمجة الكائنية عند أفلاطون

2008/04/23

نظرية المثل عند أفلاطون الحكيم ، يعرض أفلاطون قصة الكهف ليبين المثال من الشيء ، فقصة الكهف هي عن أشخاص مكبلين في كهف مظلم و يوجد خلفهم نار و وجوههم متجهة نحو الحائط بحيث لا يرون الحقائق ورائهم و إنما يرون خيال الأشياء التي تمر بينهم و بين النار و هم لم يسبق لهم أن رأوا الأشياء بذاتهم لذلك يعتقدون أن الظل الذي يرونه هو الحقيقة !

نحن نعلم الشيء المطلق بمثاله ، فمثلا عمل الخير هو مثال للخير ، شيء جميل هو مثال للجمال و ليس الجمال …

البرمجة الكائنية OOP أي Object Oriented Programming أسلوب في البرمجة يعتمد على تحويل أي شيء إلى كائن ، مثلا إذا كان البرنامج يتناول صورة عندها يمكننا إنشاء نوع هو صورة يحوي مواصفات مثل نوع الصورة jpg, gif , png … حجم الصورة ، أبعاد الصورة ( طول ، عرض ) … هذا كلّه وصف لصورة ، ليس صورة بالتحديد و إنما نوع.

و عندما نريد استخدام هذا النوع في البرمجة بشكل تطبيقي فإننا نأخذ مثال عنه ، أي كائن منه فالصورة img.gif هي مثال للنوع صورة.

فمثلا في Java نكتب :
public class Img{
...
}

و عندما نريد استخدام هذا النوع نحتاج لننشئ شيء منه أو كائن فنكتب :

Img anyName = new Img();

إن anyName هو مثال للصورة أو لنوع الصورة ، كما هو السرير الخشبي مثال للسرير المطلق !

كيف سندرك المطلق؟ اللانهاية ؟

ما هي مساحة مستقيم طوله لا نهاية ؟ المستقيم المطلق لا عرض له أي عرضه صفر فكم هي مساحته أنها صفر × لا نهاية ، كم الناتج ؟ واحد !
الواحد عند فيثاغورث هو الأول ، الغير قابل للتقسم ، وهو المطلق.